Умотренировочные задачки

[revik]

59: Дед_Ягун:

ты для неправильного треугольника ABC рисовала?

[revik]

ой, туплю!
[незаметно сливается из топика]

[BadBlock]

revik пишет:
> ты для неправильного треугольника ABC рисовала?

Неправильный треугольник, кстати, это какой?

[revik]

63: BadBlock:

тот, который не является правильным!

[BadBlock]

64: revik:

Логично!

[Haradrim]

61: Дед_Ягун: коротко говоря:
поколдовав с углами и треугольниками, можно понять, что достаточно доказать, что центральный треугольник (образованный центрами правильных треугольников) подобен треугольникам OAcBc, OBaCa, OCbAb (которые подобны между собой, это тоже получается если внимательно посмотреть на углы и треугольники) (для этого утверждения как вариант можно воспользоваться тем, что вокруг 4-угольника можно описать окружность если и только если сумма противоположных углов равна 180).
Дальше хуже. Нормального доказательства подобия с центральным треугольником я не придумал, но обозначив углы, поколдовав с теоремами синусов и косинусов, и посчитав отношения сторон, всё получилось. Но вообще говоря это малоприятное занятие.

Расписывать подробно это решение здесь никакого терпения не хватит, надеюсь того что я написал достаточно, чтобы его восстановить (хотя вообще вторая чать совсем не интересная и мутная возня с постоянным опасением что что-то где-то забыл учесть). Наверно всё-таки у задачи должно быть решение и посимпатичней, по крайней мере хочется в это верить.

[revik]

>если и только если

ого, вот это термин. первый раз такой слышу.
[проговаривает про себя]
нравится

[swerta]

Дед_Ягун:
Пришлось, однако, попотеть с изложением доказательства, но одолел

(В доказательстве все числа, кроме дробей, имеют значения градусов, а углы обозначаются знаком <)

Сначала дадим способ построения точек Ac, Ab, Bc, Ba, Ca, Cb, удовлетворяющих условиям задачи.
Т.к. точка O - центр вписанной окружности, то прямые AO, BO и CO - биссектрисы углов треугольника.
Из точки O проведем два луча под улом 30 к лучу OA до пересечения со сторонами AB и AC треугольника ABC.
Точки пересечения обозначим Ac и Ab соответственно. Таким же образом построим точки Bc, Ba, Ca, Cb.
Треугольники AAcO и AAbO равны, т.к.: имеют равные углы по 30 при вершине О; равные углы при вершине А (AO - биссектриса) и общую сторону между равными углами. Следовательно, AcO=AbO (лежат против равных углов в равных треугольниках). Следовательно, треугольник OAbAc - равнобедренный, откуда следует что <AbAcO = <AcAbO и <AbAcO + <AcAbO = (180 - <AcOAb) = (180 - (30 + 30)) = 120. Отсюда <AbAcO = <AcAbO = 60. Следовательно, треугольник OAbAc - равносторонний т.е. - правильный, т.к. все его углы равны, что и соответствует условию задачи. Так же доказывается правильность треугольников OBaBc и OCaCb.

Обозначим "x" <OAC=<OAB, а "y" <OCA=<OCB.
Теперь (без особых доказательств, кои очевидны) определяем величины имеющихся углов:
<OAC=x; <OAB=x; <OCA=y; <OCB=y; <OBA=90-x-y; <OBC=90-x-y;
<AcOA=30; <AbOA=30; <BcOB=30; <BaOB=30; <CaOC=30; <CbOC=30;
<OAcAb=60; <OAbAc=60; <OBcBa=60; <OBaBc=60; <OCaCb=60; <OCbCa=60;
<AcAbA=90-x; <OAbCb=x+30; <AbAcA=90-x; <OAcBc=x+30;
<CaCbC=90-y; <OCbAb=y+30; <CbCaC=90-y; <OCaBa=y+30;
<BaBcB=x+y; <OBcAc=120-x-y; <BcBaB=x+y; <OBaCa=120-x-y;
<AcOBc=y+30; <BaOCa=x+30; <AbOCb=120-x-y. Пока хватит

Пусть точка K - середина отрезка OAb.
Из K восстановим перпендикуляр к OAb до пересечения с биссектрисой BO. Обозначим N эту точку пересечения (BON - прямая). Из точки N опустим перпендикуляр на OCb. Обозначим основание этого перпендикуляра D (ND перпендикулярна ОСb; D принадлежит OD).
Продолжим считать углы :
<OKN=90; <KON=60-y; <ONK=y+30; <ODN=90; <NOD=60-x; <OND=x+30.
Теперь тригонометрия.
В треугольнике AbCbO: AbO/sin(y+30)=CbO/sin(x+30) (теорема синусов). Следовательно,
AbO=sin(у+30)*CbO/sin(x+30).
K - середина AbO, следовательно, OK=0.5*sin(у+30)*CbO/sin(x+30).
В прямоугольном треугольнике OKN: ON=OK/sin(<ONK)=(0.5*sin(у+30)*CbO/sin(x+30))/sin(y+30)=0.5*CbO/sin(x+30).
В прямоугольном треугольнике OND: OD=ON*sin(<OND)=(0.5*CbO/sin(x+30))*sin(x+30)=0.5*CbO.
Таким образом, D - середина CbO, N - точка пересечения серединных перпендикуляров треугольника OAbCb и центр его описанной окружности.
Аналогично строим точки L и P - центры описанных окружностей треугольников OBaCa и OAcBc, попутно доказывая (по построению), что они лежат на соответствующих биссектрисах AO и CO и вычисляем получившиеся углы.

Далее просто используем критерий вписанности многоугольника в окружность: если в многоугольнике вокруг любого четырехугольника, образованного тремя его (многоугольника) смежными сторонами и соответствующей диагональю, можно описать окружность, то многоугольник можно вписать в окружность.
Например. Если M - центр описанной вокруг треугольника OBaBc окружности (очевидно лежит на биссектрисе BO), а Т - то в четырехугольнике N - центр описанной вокруг треугольника OCaСb окружности (лежит на биссектрисе CO), то в четырехугольнике NTLM <N=x+30; <N=60; <L=150-x; <T=120 и критерий его вписанности в окружность очевидно выполняется.

Уфф-ф!

Советую с доказательством разбираться на чертеже. Суть доказательства - все шесть точек, про которые идет речь в задаче лежат на биссектрисах, что доказывается не в лоб а по построению.

[swerta]

70: Дед_Ягун:
Пусть ребенок обратит внимание на то, что <KON (=60-y) и <NOD (=60-x) могут быть отрицательными, что, естественно, нонсенс. Пускай подумает, что с этим делать.

[Splinter]

Жена вчера из школы принесла олимпиадные задачи по информатике.
5-6 классы

Одна задача вогнала меня в ступор.
Цитирую дословно:

Полный пусть к файлу имеет вид C:\BOOK\name_may_1.ppt
Расширение этого файла:
А) name_may_1
Б) may_1.ppt
В) 1.ppt
Г) C:\BOOK
Д) pp

Но я, собственно, не про это.
Вот, потренируйте логику:

Пусть справедливы следующие утверждения:
1) Среди учеников, имеющих компьютеры, есть такие, которые не являются геймерами;
2) Ученики, каждый рабочий день посещающие школу, но не являющиеся геймерами, не имеют компьютеров.

Какое из следующих утверждений является истинным?

А) Не все владельцы компьютеров каждый рабочий день посещают школу
Б) Все владельцы компьютеров каждый рабочий день посещают школу
В) Все ученики, имеющие компьютер, являются геймерами и не посещают школу каждый рабочий день
Г) Не все владельцы компьютеров каждый рабочий день посещают школу, но скоро приобретут компьютер
Д) Все ученики, не имеющие компьютера, являются геймерами и посещают школу каждый рабочий день

Или вот:

В доме у Пети установили новый лифт экспериментальной модели. В этом лифте все кнопки с номерами этажей заменены двумя кнопками. При нажатии на одну из них лифт поднимается на один этаж вверх, а при нажатии на вторую - опускается на один этаж вниз. Пете очень понравился новый лифт, и он катался в нем, пока не побывал на каждом из этажей хотя бы по одному разу. Известна последовательность кнопок, которые нажимал Петя: 1221221221.
Каково количество этажей в доме у Пети?

[Manfred]

69: Splinter:
>Расширение этого файла:

[Manfred]

69: Splinter:
>Каково количество этажей в доме у Пети?
5?

[revik]

69: Splinter:
>Каково количество этажей в доме у Пети?

2

[Burg]

А защита от дурака в этом лифте есть? Ну т.е. стоя на 1-м этаже можно кнопку "вниз" жать?

[Splinter]

73: Burg:

Это для пятого класса задача!!!

[Manfred]

74: Splinter:
ответ то скажи можно в ЛС

[Splinter]

75: Manfred:

У меня нет ответов.

[Burg]

74: Splinter:
Я понимаю, но просто у меня разные варианты ответов в зависимости от ответа на вышеприведенный вопрос

[Учитель]

В доме 5 этажей.

[Burg]

78: Учитель:
Логику рассуждений можно?

[Manfred]

79: Burg:
нигде не сказано что старт был с первого или какого-либо этажа, и не сказано, что на каком то этапе он не смог подняться выше/спуститься ниже. Отсюда и получается 5 при условии посещения всех этажей

[Burg]

80: Manfred:
Поэтому я и спрашиваю про защиту от дурака. У меня например лифт никуда не поедет, если нажать кнопку того этажа, на котором стоит. Справедливо предположить, что там такая защита тоже стоит и ниже первого этажа оно не поедет... Итого последовательность 1221221221. Если стоит на первом этаже то этажи будут следующие:
2-1-1-2-1-1-2-1-1-2 Итого лифт в доме из двух этажей )))

[revik]

80: Manfred:
>нигде не сказано что старт был с первого или какого-либо этажа

будь ты проклят!!!

тогда получается от -5 до 5 этажей

[Manfred]

81: Burg:
ну условий то таких нет. значит их не надо учитывать. Будь проще

[Manfred]

82: revik:
>будь ты проклят!!!
гавно вопрос

[Burg]

83: Manfred:
Я и говорю - условия не полные. Учитесь правильно писать ТЗ

[Manfred]

Кстати, варианты ответов к задаче про лифт
A) 1
Б) 6
В) 3
Г) 8
Д) 5

2 там нет вообще, как можно заметить